四色定理の証明

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四色定理から求められる平面グラフの性質

交差のない平面グラフにおいて、任意の1面に対し、その面を構成する閉路の頂点を3彩色し、 且つ、グラフ全体を4彩色する塗り方がある
交差のない平面グラフGにより構成される面Fの内、任意の面fを構成する閉路をCfとする。 このCfを3彩色し、Gを4彩色する方法が必ず存在する。 Gに点uを加えて、G'を作るとき、uは必ずある面f内に配置される(グラフの外も面と考える)。 この時fを構成する閉路Cfが必ず4色必要とされる場合、uからCf上の4色の点に 辺を作成したG'は必ず5色必要となり、四色定理に反する。

四色定理の別証明

四色定理はすでに証明済みであるが、上記の性質を仮定し、帰納法をもちい証明する。
四色定理が成立するためには、下記を証明すればよい。

交差のない平面グラフは必ず4色で彩色可能 <=> 任意の閉路を3色以内で彩色し、全体では4色となる彩色組み合わせが存在する。

頂点数nで交差のない任意の平面グラフGについて、 任意の閉路を3色とし、全体では4色となる彩色組み合わせが存在する。と仮定する。
G = K3の場合、1点加えたG'は必ず各閉路は3色以内で彩色可能で、 全体としては4色で彩色できる。(4色を必ず必要とするのはK4)
またG = K4に1点加える場合も同様である。

頂点数nの任意の交差のない平面グラフGに頂点uを加えG'とする場合に、 uを追加する面をfとし、その閉路をCfとする。 仮定により、Cfは3色で彩色することが可能である。
面fに頂点uを追加し、uからCf内の点に接続する。 Cfが3点しかない場合、どのように接続しても、新しくできた閉路は3色以内で彩色できる。 またCf外の彩色の組み合わせにも影響しない。

Cfが4点以上で異なる3色に接続する場合、4色目が必要で4色の閉路ができるが、 4色目は接続した部分と交換可能であり、新しくできた閉路を3彩色とすることが可能である。
交換できる理由について説明する。
この接続する3色が4色目と交換できない場合(接続する3色の組合せが1種類しかなく、且つ4色目と交換不可能な場合)、

閉路上の3色を1,2,3、新しく追加した色を4とし、4は1,3と接続するとすると,1 - 2,3,4 / 2 - 1,3,4 / 3 - 4, 2, 1が固定的に必要になる。 上記条件はK4で可能であるが、K4では交換可能である。 閉路の背後に必ずK3,K4をつなぐK3_3が必要となる。
クラトフスキー(Kuratowski)の定理により、これは交差のない平面としては存在できない。

またCf以外の閉路を3彩色した場合にはこのCfの交換可能である点が別の色となり、 やはり4彩色可能な組み合わせがある。よって任意の閉路を3彩色し、全体を4彩色可能である。
よって交差のない平面グラフは4色で彩色可能である。

(証明終わり)