完全グラフのマイナー

完全グラフばかり考えていたのですが、マイナーを考えないと本質にたどりつけなさそうなので考えています。

Kn を彩色数を変えずにKmだけ分離していく(強連結を置換していく)には、完全2部グラフが必要になる。

(片方はmだけど、もう片方が、m+1かn-1か、それともm + n / 2みないなものなのかが不明)


みたいな感じです。

四色定理の証明

変更しました。

四色定理から求められる平面グラフの性質

交差のない平面グラフにおいて、任意の1面に対し、その面を構成する閉路の頂点を3彩色し、 且つ、グラフ全体を4彩色する塗り方がある
交差のない平面グラフGにより構成される面Fの内、任意の面fを構成する閉路をCfとする。 このCfを3彩色し、Gを4彩色する方法が必ず存在する。 Gに点uを加えて、G'を作るとき、uは必ずある面f内に配置される(グラフの外も面と考える)。 この時fを構成する閉路Cfが必ず4色必要とされる場合、uからCf上の4色の点に 辺を作成したG'は必ず5色必要となり、四色定理に反する。

四色定理の別証明


四色定理はすでに証明済みであるが、上記の性質を仮定し、帰納法をもちい証明する。
四色定理が成立するためには、下記を証明すればよい。

交差のない平面グラフは必ず4色で彩色可能 <=> 任意の閉路を3色以内で彩色し、全体では4色となる彩色組み合わせが存在する。

頂点数nで交差のない任意の平面グラフGについて、 任意の閉路を3色とし、全体では4色となる彩色組み合わせが存在する。と仮定する。
G = K3の場合、1点加えたG'は必ず各閉路は3色以内で彩色可能で、 全体としては4色で彩色できる。(4色を必ず必要とするのはK4)
またG = K4に1点加える場合も同様である。

頂点数nの任意の交差のない平面グラフGに頂点uを加えG'とする場合に、 uを追加する面をfとし、その閉路をCfとする。 仮定により、Cfは3色で彩色することが可能である。
面fに頂点uを追加し、uからCf内の点に接続する。 Cfが3点しかない場合、どのように接続しても、新しくできた閉路は3色以内で彩色できる。 またCf外の彩色の組み合わせにも影響しない。

Cfが4点以上で異なる3色に接続する場合、4色目が必要で4色の閉路ができるが、 4色目は接続した部分と交換可能であり、新しくできた閉路を3彩色とすることが可能である。
交換できる理由について説明する。
この接続する3色が4色目と交換できない場合(接続する3色の組合せが1種類しかなく、且つ4色目と交換不可能な場合)、

閉路上の3色を1,2,3、新しく追加した色を4とし、4は1,3と接続するとすると,1 - 2,3,4 / 2 - 1,3,4 / 3 - 4, 2, 1が固定的に必要になる。 上記条件はK4で可能であるが、K4では交換可能である。 閉路の背後に必ずK3,K4をつなぐK3_3が必要となる。
クラトフスキー(Kuratowski)の定理により、これは交差のない平面としては存在できない。

またCf以外の閉路を3彩色した場合にはこのCfの交換可能である点が別の色となり、 やはり4彩色可能な組み合わせがある。よって任意の閉路を3彩色し、全体を4彩色可能である。
よって交差のない平面グラフは4色で彩色可能である。

(証明終わり)

01223

01223という数字が頭に浮かびあがってきて、ABC予想にたどり着いた。c < 10^2の成果をみて、ああとおもってしまった。
回=開->閉、回=開->閉だ。
001223*2だった。*2がなんなのかだけど、きっと彩色数みたいな層だ。

無限と虚数と素数

N2層からN3層にあがるとき、3角錐がある。ここに選択があってN2,N3で十字から正八面体をつくるのと、N1,N3層で正六面体で中心にN2層がある状態がつくれる。


正八面体が虚数空間で-1を無限,1を無限で-1は2で割る方向、1は2,3と増えていく方向があり、-1/2と無限があるから、フェルマーの最終定理があり、これが素数を生む

3角錐の3方向に0, π/3, -π/3ができる。1回転して+1の推進力を生む。これが虚数を生むっぽい。

グラフの基底

回、開、閉だな。これはどの層にも出現することができる。
回はループで0に相当する、開は+、閉は-。開 + 閉 <=> 回の操作を行うと関数Pにより規定される写像に反映される。
この3基底で彩色数を操作していたのがこれまでのポストだ。

もうすこし足りなかった。点と線。
線は回->開から生まれ、閉により点になる。

Hadwiger予想は正しい

タイトルを変えました。変えましたが、まとまっていないです。Hadwiger予想の証明を近いうちに書きたいと思います。



たぶん正多面体上のグラフマイナーで砂時計みたいに半分でわって頂点でくっつけたもの

なんで？
層を移動する推進力を得るため。

ポエムみたいになってきた。

追記:
正多面体の頂点と辺のグラフはプラトン・グラフ（Platonic graph）っていうのか。


操作として掛け算をリンクと定義するとNn,Nm(n<=m)上にa,bがあるとする、a,bをN1層まで展開する。その中の各層で共通した点が接続点になるみたいな感じかな。
a * b = a + b - (a ∩ b)
a ∩ b部分が重複したグラフで最小カットのもとになる。これが2部グラフになってる気もする。
(a ∩ b)がaに一致するとき、aはbに含まれてるね。

足し算はNn層に限定された処理で、Nn層にあるn+1点がKn+1を構成するとNn+1層に点を作ろうとする。なのでN0層なら任意

辺上にもう一点を作るのはN0,N2層の点の直線状にあるN1層に波及して起こる操作。

N0上の点OとN4上の任意の点をp ∈ Pとして開区間(O,N4)を満たす操作(開区間なので森)行い続けるのが4色問題だな。

マイナーていうのをNn上の開点(でいいのかな?直接は接続不可能な点でこれを構成する下層ではリンク可能)とおもうとHadwiger予想は正しい。